题目内容
如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x-6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以(6,-6)为圆心,3
为半径作⊙C.
(1)求证:直线AB与⊙C相切;
(2)过原点O引射线OP、OQ与⊙C相切,切点为E、F,与直线AB分别交于点M、N(点M在点N的上方).
①求∠POQ的度数;
②△OMN的周长.
2 |
(1)求证:直线AB与⊙C相切;
(2)过原点O引射线OP、OQ与⊙C相切,切点为E、F,与直线AB分别交于点M、N(点M在点N的上方).
①求∠POQ的度数;
②△OMN的周长.
考点:圆的综合题
专题:探究型
分析:(1)连接CA,CB,过点C作CD⊥AB于点D,先根据A、B是直线y=x-6与x、y轴的交点,求出A、B的坐标,判断出四边形OBCA的形状,再根据三角形的面积公式求出CD的长,再与⊙C的半径相比较即可;
(2)①连接CE,CF,OC,则CE⊥OP,CF⊥OQ,再根据两点间的距离公式求出OC的长,由锐角三角函数的定义可求出∠EOC的度数,进而可得出∠EOF的度数;
②根据锐角三角函数的定义可求出OE的长,再根据切线的性质可得出MD=ME,ND=NF,OE=OF,故可得出△OMN的周长=OE+OF=2OE,故可得出结论.
(2)①连接CE,CF,OC,则CE⊥OP,CF⊥OQ,再根据两点间的距离公式求出OC的长,由锐角三角函数的定义可求出∠EOC的度数,进而可得出∠EOF的度数;
②根据锐角三角函数的定义可求出OE的长,再根据切线的性质可得出MD=ME,ND=NF,OE=OF,故可得出△OMN的周长=OE+OF=2OE,故可得出结论.
解答:解:(1)如图1,连接CA,CB,过点C作CD⊥AB于点D,
∵A、B是直线y=x-6与x、y轴的交点,
∴A(6,0),B(0,-6),
∴OA=OB=6,AB=6
,
∵C(6,-6),
∴OA=OB=BC=AC=6,
∵∠AOB=90°,
∴四边形OBCA是正方形,
∴S△ACB=
AC•BC=
AB•CD,即6×6=6
CD,
解得CD=3
,
∴⊙C与直线AB相切;
(2)①如图2,连接CE,CF,OC,
∵OP,OQ均是⊙C的切线,
∴CE⊥OP,CF⊥OQ,
∵C(6,-6),
∴OC=
=6
,
∵CE=3
,
∴∠EOC=30°,
同理可得∠FOC=30°,
∴∠POQ=∠FOC+∠EOC=60°;
②∵由①知,Rt△OEC中,OC=6
,CE=3
,∠EOC=30°,
∴OE=OF=OC•cos30°=6
×
=3
,
∵AB,OP,OQ均是⊙C的切线,
∴MD=ME,ND=NF,OE=OF,
∴△OMN的周长=OE+OF=3
+3
=6
.
∵A、B是直线y=x-6与x、y轴的交点,
∴A(6,0),B(0,-6),
∴OA=OB=6,AB=6
2 |
∵C(6,-6),
∴OA=OB=BC=AC=6,
∵∠AOB=90°,
∴四边形OBCA是正方形,
∴S△ACB=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
解得CD=3
2 |
∴⊙C与直线AB相切;
(2)①如图2,连接CE,CF,OC,
∵OP,OQ均是⊙C的切线,
∴CE⊥OP,CF⊥OQ,
∵C(6,-6),
∴OC=
(0-6)2+(0+6)2 |
2 |
∵CE=3
2 |
∴∠EOC=30°,
同理可得∠FOC=30°,
∴∠POQ=∠FOC+∠EOC=60°;
②∵由①知,Rt△OEC中,OC=6
2 |
2 |
∴OE=OF=OC•cos30°=6
2 |
| ||
2 |
6 |
∵AB,OP,OQ均是⊙C的切线,
∴MD=ME,ND=NF,OE=OF,
∴△OMN的周长=OE+OF=3
6 |
6 |
6 |
点评:本题考查的是圆的综合题,涉及到切线的性质、直角三角形的性质等相关知识,难度适中.
练习册系列答案
相关题目
下列说法错误的是( )
A、无理数与有理数的和是无理数 |
B、无理数与有理数的积是无理数 |
C、无理数的相反数是无理数 |
D、无理数的绝对值是无理数 |
在-3,0,-
,3四个数中,最小的数是( )
3 |
A、3 | ||
B、0 | ||
C、-
| ||
D、-3 |