Question

（2007•仙桃）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E．
（1）求证：△COE∽△ABC；
（2）若AB=2，AD=，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得∠OEC=∠BCA=90°，由OA=OC，得∠BAC=∠OCE，根据有两对角对应相等的三角形相似可得到△COE∽△ABC；
（2）阴影部分的面积等于扇形OBC的面积减去三角形OBC的面积，分别求得扇形与三角形的面积相减即可．
解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC，
即：∠OEC=∠BCA=90°．（2分）
又∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCE，（3分）
∴△COE∽△ABC；（4分）

（2）解：过点B作BF⊥OC，垂足为F．
∵AD与⊙O相切，
∴∠OAD=90°，
在Rt△OAD中，
∵OA=1，AD=，
∴tan∠D=，
∴∠D=30°，（5分）
又∵∠BAC+∠EAD=∠D+∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠D=30°，
∠BOC=60°，（6分）
∴S_△OBC=•OC•BF=×1×1×sin60°=，（7分）
∴S_阴=S_扇OCB-S_△OBC=．（8分）
点评：此题考查学生对相似三角形的判定，扇形的面积及解直角三角形的综合运用能力．