Question

（2007•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）先证出△AEC≌△BDC，只要再找一对角相等就可以了，利用边相等，可得∠CAB=∠CBA，∠CEA=∠CDE，而∠CAB=∠CDB=∠CDE，故∠CEA=∠CDB，（CE=CD，∠CAE=∠CBD）再利用SAS可证出△AEC≌△BDC．
（2）利用（1）中的全等，可得，AE=BD，∠ECA=∠DCB，那么就有∠ECD=∠ECA+∠ACD=90°，根据勾股定理得DE=CD，而DE=AD+AE=AD+BG，所以有AD+BD=CD．
解答：证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED；
又∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠BAC=∠CDE=∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD；
在△AEC和△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD．

（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°；
又∵CD=CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=CD，
又∵DE=AD+AE且AE=BD，
∴AD+BD=CD．
点评：本题利用了同弧上的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，还有圆内接四边形的外角等于其内对角等知识．