Question

已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．

Answer 1

分析：（1）设函数关系式为y=a（x+1）²+4（a≠0），将点B坐标代入解析式，求出a的值即可求得函数关系式；
（2）分别令x=0，y=0，即可求得函数与y轴、x轴的交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

解答：解：（1）由顶点A（-1，4），可设函数关系式为y=a（x+1）²+4（a≠0），
将点B（2，-5）代入解析式得：-5=a（2+1）²+4，
解得：a=-1．
则二次函数的关系式为：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；

（2）令x=0，
得y=-（0+1）²+4=3，
故图象与y轴交点坐标为（0，3）．
令y=0，
得0=-（x+1）²+4，
解得x₁=-3，x₂=1．
故图象与x轴交点坐标为（-3，0）和（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（-3，0），N（1，0）
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A'（2，4），B'（5，-5）
∴S_△OA′B′=

1

2

×（2+5）×9-

1

2

×2×4-

1

2

×5×5=15．

点评：本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．