Question

为了抓住国家降低汽车购置税，刺激汽车消费的大好机遇，实现新的发展，汽车生产企业策划部拟定了以下两种新的投资方案．方案一：生产家用型汽车，每辆汽车成本为a万元（a为常数，且3＜a＜8），每辆汽车销售价为10万元，每年最多可生产200辆；方案二：生产豪华型汽车，每辆汽车成本为8万元，每辆汽车销售价为18万元，每年最多可生产120辆．假设生产汽车的辆数为x（x为正整数），且生产的汽车可全部售出，又已知年销售x辆豪华型汽车时需上交0.05x²万元的附加税．在不考虑其他因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y₁、y₂与生产汽车辆数x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪种投资方案？

Answer 1

解：（1）y₁=（10-a）x （0≤x≤200）
y₂=10x-0.05x² （0≤x≤120）
（2）方案一：∵10-a＞0，则当x=200时，年利润最大，是200（10-a）；
方案二：x=-=-=100，则当x=100时，利润最大，是：10×100-0.05×100²=500（万元）．
（3）当200（10-a）＞500时，a＜7.5，则3＜a＜7.5时，选择方案一；
当200（10-a）=500时，a=7.5，两种方案相同；
当200（10-a）＜500时，a＞7.5，则7.5＜a＜8时，选择方案二．
分析：（1）利用汽车的辆数乘以每辆的利润，即售价与成本的差，即可求得；
（2）根据两个函数的性质求两个函数的最大值即可；
（3）根据（2）中得到的利润的值，进行比较，求得a的范围，从而根据a的值确定选择哪种方案．
点评：此题属于一次函数的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．