题目内容
如图.△ABC是圆的内接正三角形,D是BC弧上任意一点,试探求线段BD、DC、DE之间的关系并予证明.
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证明:延长CD至H,使DH=BD,△ABC为正三角形,
∴∠BDC=120°,∠BDH=180°-∠BDC=60°,
∴△DBH为正三角形,
∴BD=HD,∠H=60°,
又∵AB=BC,∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=∠BCD,
∴△ABD≌△CBH,
∴AD=HC=HD+DC=BD+DC,
又∵∠DCE=∠BAD,∠EDC=∠ADB,(同弧所对的圆周角相等)
∴△ABD∽△CED
∴
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∴
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∴
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∴
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分析:延长CD至H,使DH=BD,△ABC为正三角形,然后可证△ABD≌△CBH,得BD+DC=HC=AD,利用(同弧所对的圆周角相等)求△ABD∽△CED,然后利用其对应边成比例即可证明.
点评:此题考查学生对相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理等知识点的理解和掌握,综合性较强,难度较大.
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