Question

已知大⊙O的直径AB=acm，分别以OA、OB为直径作⊙O₁和⊙O₂，并在⊙O与⊙O₁和⊙O₂的空隙间作两个半径都为r的⊙O₃和⊙O₄，且这些圆互相内切或外切（如图所示）．
（1）猜想四边形O₁O₄O₂O₃是什么四边形，并说明理由；
（2）求四边形O₁O₄O₂O₃的面积．

Answer 1

分析：（1）根据外切两圆之间之间的关系：圆心距等于两圆半径的和，即可证得四边形的四边相等；
（2）连接O₃O₄必过点O，且O₃O₄⊥AB，则菱形被分成了四个全等的直角三角形，根据菱形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）四边形O₁O₄O₂O₃为菱形．（1分）
理由如下：
∵⊙O、⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄互相内切或外切，
又∵⊙O₁和⊙O₂，⊙O₃和⊙O₄分别是等圆，
∴O₁O₄=O₄O₂=O₂O₃=O₃O₁=

a

4

+r．（2分）
∴四边形O₁O₄O₂O₃为菱形．（3分）

（2）连接O₃O₄必过点O，且O₃O₄⊥AB．（4分）
∵⊙O₃和⊙O₄的半径为rcm．
又∵⊙O₁、⊙O₂的半径为

a

4

cm，
∴在Rt△O₃O₁O中，有(

a

4

)2+(

a

2

-r)2=(

a

4

+r)2．
解得r=

a

6

．（6分）
∴O₃O=

a

2

-

a

6

=

a

3

．
∵四边形O₁O₄O₂O₃为菱形，
∴S_{四边形O1O4O2O3}=

a

2

•

a

3

=

a2

6

．（8分）

点评：本题主要考查了两圆外切时的关系以及菱形的判定，菱形的计算可以通过作对角线分成四个全等的直角三角形进行计算．