题目内容
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(1)求证:点E是AD的中点;
(2)设BF=5,求正方形ABCD的边长.
分析:(1)首先连接OE,由切线的性质,易证得OE∥AB∥DF,由于OB=OF,即可证得点E是AD的中点;
(2)首先设正方形ABCD的边长为x,根据梯形中位线的性质,可表示出DF的长,即而表示出CF的长,由勾股定理即可求得方程:52=x2+(2x-5)2,解此方程即可求得答案.
(2)首先设正方形ABCD的边长为x,根据梯形中位线的性质,可表示出DF的长,即而表示出CF的长,由勾股定理即可求得方程:52=x2+(2x-5)2,解此方程即可求得答案.
解答:
(1)证明:连接OE,
∵以BF为直径的半圆与AD相切于点E,
∴OF⊥AD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=90°,
∴OE∥AB∥DF,
∵OB=OF,
∴AE=DE,
即点E是AD的中点;
(2)解:设正方形ABCD的边长为x,
则AB=BC=CD=AD=x,
∵BF=5,
∴OE=
,
∵OE=
(AB+DF),
∴DF=5-x,
∴CF=CD-DF=2x-5,
在Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2,
即52=x2+(2x-5)2,
解得:x=4或x=0(舍去),
∴正方形ABCD的边长为4.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/50/692ad2af.png)
∵以BF为直径的半圆与AD相切于点E,
∴OF⊥AD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=90°,
∴OE∥AB∥DF,
∵OB=OF,
∴AE=DE,
即点E是AD的中点;
(2)解:设正方形ABCD的边长为x,
则AB=BC=CD=AD=x,
∵BF=5,
∴OE=
5 |
2 |
∵OE=
1 |
2 |
∴DF=5-x,
∴CF=CD-DF=2x-5,
在Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2,
即52=x2+(2x-5)2,
解得:x=4或x=0(舍去),
∴正方形ABCD的边长为4.
点评:此题考查了切线的性质、梯形的中位线的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
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