Question

如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC=30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D．
求证：（1）∠CAB=∠BOD；
（2）△ABC≌△ODB．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角及∠ABC=30°可知∠CAB=60°，然后由圆周角定理可知∠AOC=60°，再根据对顶角相等即可解答．
（2）根据直角三角形的性质求出AC=OB，再由ASA定理即可求出△ABC≌△ODB．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
又OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠CAB=∠BOD．

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=

1

2

AB，
又OB=

1

2

AB，
∴AC=OB，
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°，
在△ABC和△ODB中，
∴△ABC≌△ODB．

点评：本题考查了圆的切线性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定方法及圆周角定理的相关知识，有一定的综合性，但难度不大．