题目内容

如图，将长方形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数 $数学公式$ （x＞0）的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别记为S₁、S₂，且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若长方形OABC的边长OA=2，OC=4．
①求k的取值范围；
②设四边形OAEF的面积为S，求证：S≤5．

解：（1）∵点E、F反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）图象上的点，
∴S_△OAE=S_△OCF= $\text{[math]}$ ，
∴S₁+S₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2，
解得，k=2；

（2）①∵点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），OA=2，OC=4
∴0＜k＜8；

②∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
∴设E（ $\text{[math]}$ ，2），F（4， $\text{[math]}$ ），

∴BE=4- $\text{[math]}$ ，BF=2- $\text{[math]}$ ，
∴S_△BEF= $\text{[math]}$ （4- $\text{[math]}$ ）（2- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S=S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（ $\text{[math]}$ k²-k+4）- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ k²+ $\text{[math]}$ k+4，
=- $\text{[math]}$ （k-4）²+5
∴当k=4时，四边形AOFE的面积最大，
∴S≤5；
分析：（1）点E、F反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）图象上的点，S_△OAE=S_△OCF= $\text{[math]}$ ，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）①E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），根据OA=2，OC=4可直接得k的取值范围；
②设E（ $\text{[math]}$ ，2），F（4， $\text{[math]}$ ），可得BE=4- $\text{[math]}$ ，BF=2- $\text{[math]}$ ，然后表示出△BEF、△OFC、矩形OABC的面积，然后根据S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF表示出面积，再求出最大值即可证出结论．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合运用以及反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式以及二次的顶点式及其最值问题，利用数形结合得出函数最值是解题关键．