Question

已知关于x的两个一元二次方程：
方程：x2+(2k-1)x+k2-2k+

13

2

=0    ①
方程：x2-(k+2)x+2k+

9

4

=0      ②
（1）若方程①、②都有实数根，求k的最小整数值；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是

①

（填方程的序号），并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若k为正整数，解出有实数根的方程的根．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+

13

2

）=4k-25≥0，则有k≥

25

4

；△₂=（k+2）²-4（2k+

9

4

）≥0，则k≥5或k≤-1，由于方程①、②都有实数根，于是有k≥

25

4

，则k的最小整数值为7；
（2）当k≥5或k≤-1时，方程②有实数根，此时不一定满足k≥

25

4

，则若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①和②中只有一个方程有实数根，只有方程②有实数根，方程①不一定实数根；
（3）由于方程②有实数根，方程①没有实数根，则5≤k＜

25

4

，得到k=5或6，然后把它们分别代入方程，利用因式分解法或求根公式法解方程即可．

解答：解：（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+

13

2

）=4k-25≥0，
∴k≥

25

4

，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+

9

4

）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥

25

4

，
∴k的最小整数值为7；

（2）当方程①有实数根，k≥

25

4

，则方程②有实数根；
∵方程①和②中只有一个方程有实数根，
当方程②有实数根，方程①不一定实数根；
故答案为①；

（3）∵k为正整数，
且5≤k＜

25

4

，
∴k=5或6，
当k=5时，方程②变形为x²-7x+

49

4

=0，即（x-

7

2

）²=0，
∴x₁=x₂=

7

2

；
当k=6，方程②变形为x²-8x+

57

4

=0，
△=64-4×

57

4

=7，
∴x=

8± 7

2

∴x₁=

8+ 7

2

，x₂=

8- 7

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．