Question

【题目】综合题
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；

（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°
【解析】（1）由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ，再根据△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，结合已知条件可证△BPQ是等边三角形，在△PQC中应用勾股定理的逆定理可得△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；（2）方法同（1）。