题目内容
（2006•杭州）杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数；（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；
（2）求纯收益g关于x的解析式；
（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？
【答案】分析：（1）根据题意确定x，y的两组对应值求y的函数关系式；
（2）根据纯收益g=开放后每月可创收33万元×月数x-游乐场投资150万元-从第1个月到第x个月的维修保养费用累计y，列出函数关系式；
（3）求函数最大值，及g＞0时，x的值，可确定回收投资的月份．
解答：解：（1）由题意得：x=1时y=2；
x=2时，y=2+4=6代入得：
解之得：
∴y=x2+x；
（2）由题意得：
g=33x-150-（x2+x）
=-x2+32 x-150；
（3）g=-x2+32 x-150=-（x-16）2+106，
∴当x=16时，g最大值=106，
即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，
又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；
当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0，
∴6个月后能收回投资．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（2）根据纯收益g=开放后每月可创收33万元×月数x-游乐场投资150万元-从第1个月到第x个月的维修保养费用累计y，列出函数关系式；
（3）求函数最大值，及g＞0时，x的值，可确定回收投资的月份．
解答：解：（1）由题意得：x=1时y=2；
x=2时，y=2+4=6代入得：
解之得：
∴y=x2+x；
（2）由题意得：
g=33x-150-（x2+x）
=-x2+32 x-150；
（3）g=-x2+32 x-150=-（x-16）2+106，
∴当x=16时，g最大值=106，
即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，
又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；
当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0，
∴6个月后能收回投资．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
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