题目内容

先阅读下列内容,然后解答问题
因为
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
1
9×10
=
1
9
-
1
10

所以:
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
9×10
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
…+
1
9
-
1
10
=
9
10

请计算:
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2006×2007

1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2005×2007
分析:(1)分子为1,分母是两个连续自然数的乘积,第n项为
1
n×(n+1)
1
n
1
n+1
,所以原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
1
3
-
1
4
+…+
1
2006
1
2007
=1-
1
2007
=
2006
2007

(2)分子为1,分母是两个连续奇数的乘积,第n项为
1
n×(2n-1)
1
2
1
n
1
2n-1
)
,所以原式=
1
2
(1-
1
3
1
3
1
5
1
5
-…+ 
1
2005
 - 
1
2007
)=
1
2
(1-
1
2007
)=
1003
2007
解答:解:①
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2006×2007

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
1
3
-
1
4
+…+
1
2006
1
2007

=1-
1
2007

=
2006
2007


1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2005×2007

=
1
2
(1-
1
3
1
3
1
5
1
5
-…+ 
1
2005
 - 
1
2007

=
1
2
(1-
1
2007

=
1003
2007
点评:解决这类题目找出变化规律,消去中间项,只剩首末两项,使运算变得简单.
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