题目内容
【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6, .求BE的长.
【答案】
(1)
证明:连结OD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠BDO,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠CDA=∠ODB,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO+∠CDA=90°,
即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD,
∵OD是⊙O半径,
∴CD是⊙O的切线
(2)
解:∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD
∴△CDA∽△CBD
∴
∵ ,BC=6,
∴CD=4,
∵CE,BE是⊙O的切线
∴BE=DE,BE⊥BC
∴BE2+BC2=EC2,即BE2+62=(4+BE)2
解得:BE= .
【解析】本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.(1)连OD,OE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°;(2)根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到 ,求得CD=4,由切线的性质得到BE=DE,BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论.
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