Question

已知抛物线图象经过点A（3，0），顶点坐标（0，3）．
（1）写出抛物线的解析式．
（2）当y≤-1时，x的取值范围．
（3）在顶点与x轴的两交点的图象中，是否存在着一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内，请结合图象给于说明．（草图）

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点坐标（0，3），
∴设抛物线顶点式解析式为y=ax²+3，
把点A（3，0）代入得，9a+3=0，
解得a=-．
所以，抛物线的解析式为y=-x²+3；

（2）当y=-1时，-x²+3=-1，
整理得，x²=12，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，y≤-1时，x的取值范围是x≤-2或x≥2；

（3）如图所示，设抛物线在第一象限内任意一点P₁（x₁，y₁）与圆上的点P（x，y）重合，
令x₁=x（0＜x₁＜3），
由y₁=-x₁²+3得，x₁²=9-y₁，
由圆x²+y²=3²得，x²=9-y²，
∴9-y²=9-y₁，
y==•y₁，
∵0＜y₁＜3，
∴y＞y₁，
即OP＞OP₁，
∴除抛物线与y正半轴和x轴的交点在圆上外，其余部分都不存在着一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内．
分析：（1）设抛物线顶点式解析式为y=ax²+3，然后点A的坐标代入解析式求出a的值，从而得解；
（2）令y=-1，求出x的值，再根据二次函数的增减性写出x的取值范围；
（3）设抛物线在第一象限内任意一点P₁（x₁，y₁），根据抛物线解析式用y₁表示出x₁²，再写出圆心在原点半径为3的圆的解析式，消掉x得到关于y、y₁的关系式，整理后根据x的取值范围求出y＞y₁，从而得到不存在一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，以及二次函数与圆的关系，（3）求出圆上的点到原点的距离大于抛物线上的点到原点距离是解题的关键，作出图形更形象直观．