Question

以电视塔OC所在的直线为y轴，垂直于OC的直线OA为x轴建立直角坐标系，测得山坡坡角A距电视塔脚O的距离为300米，在A处观察塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，如果山坡坡度为

1

2

，且测倾器的高度不计，请回答下列问题：
（1）直接写出A，C两点的坐标：A

（300，0）

  C

（0，300

3

）

（2）求点P的铅直高度．（结果保留根号形式）

Answer 1

分析：（1）通过观察由图象直接可以得出A点的坐标，再利用正切值就可以求出OC的值，从而可以求出C点的坐标；
（2）过点P作PD⊥OB于D，PE⊥OC于E，设PD=x，则有OE=x，AD=2x，由条件可以求出CE=PE，建立方程可以求出其解．

解答：解：（1）∵OA=300米，
∴A（300，0）．
在Rt△AOC中，∠AOC=60°，
∴tan60°=

OC

OA

∴

OC

OA

=

3

，
∴

OC

300

=

3

，
∴OC=300

3

米，
∴C（0，300

3

）．
故答案为：（300，0），（0，300

3

）．

（2）过点P作PD⊥OB于D，PE⊥OC于E，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形EODP是矩形，
∴EO=PD，EP=OD．
∵tan∠PAD=

PD

AD

=

1

2

，
∴AD=2PD．
设PD=x，则OE=x，AD=2x，OD=300+2x，
∴EC=300

3

-x，EP=300+2x．
∵∠CPE=45°，
∴∠PCE=45°，
∴∠PCE=∠PEC，
∴EC=PE，
∴300

3

-x=300+2x，
∴x=100

3

-100．
答：点P的铅直高度为（100

3

-100）米．

点评：本题考查了解直角三角形正切值的运用，坡度的运用，矩形的判定及性质的运用，求点的坐标的运用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是关键．