题目内容

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

解：（1）M（12，0），P（6，6）

（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x-6）²+6（a≠0）

又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0-6）²+6
∴ $\text{[math]}$
∴这条抛物线的函数解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-6）²+6，即y=- $\text{[math]}$ x²+2x；

（3）设A（x，y）
∴A（x，- $\text{[math]}$ （x-6）²+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=- $\text{[math]}$ （x-6）²+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12-2x，即AD=12-2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[- $\text{[math]}$ （x-6）²+6]+12-2x=- $\text{[math]}$ x²+2x+12=- $\text{[math]}$ （x-3）²+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
分析：确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
点评：关于抛物线解析式的求法，还可以设交点式y=ax（x-12），把顶点坐标代入求a；要弄清楚线段长度与点的坐标的关系．