题目内容

已知等腰梯形中位线长为15cm,一对角线平分一个60°的底角,这个等腰梯形周长为________.

50cm
分析:过点D作DG∥AB交BC于点G,得到一个菱形和一个等边三角形,由已知可推出下底是上底的二倍,根据梯形中位线定理可求得上,下底的长,从而不难求得其周长.
解答:解:如图,等腰梯形ABCD,中位线EF=15cm,∠ABC=60°,BD平分∠B,
方法一:过点D作DG∥AB交BC于点G
∵∠B=60°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ADB=30°,
∴AD=AB=DC,
∵AD∥BC,AB∥DG,
∴AD=BG,△DGC为等边三角形,
∴CG=CD,
∴BC=2AD,
∵EF=15cm,
∴AD+BC=3AD=30cm,
∴AD=10cm,BC=20cm,
∴等腰梯形的周长为:10+10+20+10=50cm.
方法二:∵∠BDC=90°,∠C=60°,
∴∠DBC=30°,
∴Rt△BCD中,DC=BC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠ABD=∠DBC,
∴AB=AD,
即AD=AB=DC,
∵BC=2DC=2AD,
∴AD+2AD=30cm,
即AD=10cm.
∴等腰梯形的周长为:10+10+10+20=50cm.
点评:此题主要考查等腰梯形的性质,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,以及梯形中位线定理的运用.注意梯形中常见的辅助线:平移一腰.注意数形结合思想的应用.
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