Question

已知等腰梯形中位线长为15cm，一对角线平分一个60°的底角，这个等腰梯形周长为________．

Answer 1

50cm
分析：过点D作DG∥AB交BC于点G，得到一个菱形和一个等边三角形，由已知可推出下底是上底的二倍，根据梯形中位线定理可求得上，下底的长，从而不难求得其周长．
解答：解：如图，等腰梯形ABCD，中位线EF=15cm，∠ABC=60°，BD平分∠B，
方法一：过点D作DG∥AB交BC于点G
∵∠B=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴AD=AB=DC，
∵AD∥BC，AB∥DG，
∴AD=BG，△DGC为等边三角形，
∴CG=CD，
∴BC=2AD，
∵EF=15cm，
∴AD+BC=3AD=30cm，
∴AD=10cm，BC=20cm，
∴等腰梯形的周长为：10+10+20+10=50cm．
方法二：∵∠BDC=90°，∠C=60°，
∴∠DBC=30°，
∴Rt△BCD中，DC=BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴AB=AD，
即AD=AB=DC，
∵BC=2DC=2AD，
∴AD+2AD=30cm，
即AD=10cm．
∴等腰梯形的周长为：10+10+10+20=50cm．
点评：此题主要考查等腰梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及梯形中位线定理的运用．注意梯形中常见的辅助线：平移一腰．注意数形结合思想的应用．