Question

已知：关于x的方x²-2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求实数m的范围；
（2）

x

2 1

+x

2 2

=22，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）利用根的判别式b²-4ac＞0，求得m的范围；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，把

x

2 1

+x

2 2

=22，转化为（x₁+x₂）²-2x₁x₂=22，代入组成关于m的一元二次方程解方程求出m的值，结合（1）得出答案．

解答：解：（1）b²-4ac
=[-2（m-2）]²-4×（m²-3m+3）
=4m²-16m+16-4m²+12m-12
=-4m+4＞0，
∴m＜1；

（2）∵x₁+x₂=2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
∴

x

2 1

+x

2 2

=22，
（x₁+x₂）²-2x₁x₂=22，
即[2（m-2）]²-2（m²-3m+3）=22，
整理得m²-5m-12=0，
解得，m₁=

5- 73

2

，m₂=

5+ 73

2

，
∵m＜1，
∴m=

5- 73

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数；（3）△＜0?方程没有实数根；以及根与系数的关系等知识点．