题目内容

小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图2），其中顶部圆弧AB的圆心O₁在竖直边缘AD上，另一条圆弧BC的圆心O₂在水平边缘DC的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm）解决下面的问题．（玻璃钢材料的厚度忽略不计，π取3.1416）
（1）计算出弧AB所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧AB的长度；（精确到0.1cm）
（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积；（精确到1cm²）
（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料．（精确到0.1平方米）

解：（1）易知BE=60，AE=50，连接O₁B，设弧AB的半径为R．
在Rt△O₁BE中，由勾股定理得：R²=60²+（R-50）²．
解得：R=61．
∵sin∠BO₁E= $\text{[math]}$ ，
∴∠BO₁E≈79.61度．
∴弧AB的长 $\text{[math]}$ ×π×61≈84.8；

（2）扇形O₁AB的面积= $\text{[math]}$ ×84.8×61≈2586.4（cm²）；

扇形O₂BC的面积= $\text{[math]}$ ×π×40²=400π≈1256.6（cm²）；
梯形O₁BO₂D的面积= $\text{[math]}$ ×（29+40）×60=2070（cm²）；
∴遮雨罩一个侧面的面积=扇形O₁AB的面积+梯形O₁BO₂D的面积-扇形O₂BC的面积
=2586.4+2070-1256.6≈3400（cm²）；

（3）遮雨罩顶部的面积=84.8×180=15264（cm²）．
∴遮雨罩的总面积=3400×2+15264=22064（cm²）≈2.2（m²）．
制做这个遮雨罩大约需要2.2平方米玻璃钢材料．
分析：（1）本题的关键是求出弧AB所在圆的半径．连接BO₁，∠BO₁E就是所求的弧AB所对的圆心角，在直角三角形BO₁E中，已知了BE的长，我们可用直径表示出O₁E和O₁B，根据勾股定理求出半径的长，有了半径的长，就能用正弦函数求出∠BO₁E的度数，也可根据弧长的公式求出弧AB的长；
（2）我们观察图可发现，遮雨罩的侧面的面积应该是扇形O₁AB的面积+梯形O₁BO₂D的面积-扇形O₂BC的面积，已知了弧AB，BC所对的圆心角，已知了弧AB，BC所在圆的半径，那么就能根据扇形的面积公式求出这两个扇形的面积，梯形O₁BO₂D中，（1）中已经得出O₁A的值，那么就能求出O₁D的长，它的另一个底边是半径O₂B，高是O₂D，所有的条件就都有了，那么就能求出侧面的面积了．
（3）遮雨罩的表面积=2个侧面的面积+顶部的面积，侧面的面积（2）中已经求出，顶部的面积实际是个矩形的面积，这个矩形的长是180m，宽是（1）中得出的弧AB的长，那么就能求出遮雨罩的表面积了，也就求出需要多少材料了．
点评：本题主要考查了扇形的面积公式，弧长的计算公式，以及解直角三角形等知识点的综合应用，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．