题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点O在边AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A.
(1)判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)相切;(2).
【解析】
试题分析:(1)MN是⊙O切线,只要证明∠OCM=90°即可;
(2)求出∠AOC以及BC,根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可.
试题解析:(1)MN是⊙O切线.
理由:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,∴∠BCM=∠BOC,∵∠B=90°,∴∠BOC+∠BCO=90°,∴∠BCM+∠BCO=90°,∴OC⊥MN,∴MN是⊙O切线;
(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,∴∠AOC=120°,在RT△BCO中,OC=OA=4,∠BCO=30°,∴BO=OC=2,BC=,∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC==.
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