题目内容

如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．

（1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线．
（2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线 l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）（2）如图所示：
．

（3）不存在，
理由：当P为AB的中点，则S_△CBP=S_△ACP，
但是BP+BC≠AP+AC，
∴不存在过AB边上的点P的二分线．
分析：（1）圆过圆心画直线，平行四边形过对角线画直线，三角形做底边的垂直平分线；
（2）作出圆的圆心，再作出矩形的对角线，过矩形对角线交点和圆心画直线即可；
（3）利用中线的性质分析得出即可．
点评：此题主要考查了应用设计作图以及中线的性质等知识，根据新定义分别分析得出是解题关键．