题目内容

【题目】如图,抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1,该抛物线与x轴交于A、B两点,且A点坐标为(1,0),交y轴于C(0,3),设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.

(2)试判断BCD的形状,并予证明.

(3)在对称轴上是否存在一点P,使得ACP为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣2x+3,顶点D为(﹣1,4);(2)DCB为直角三角形,理由详见解析(3) 存在满足条件的点P,其坐标为(﹣1,1)或(﹣1,)或(﹣1,)或(﹣1,0)或(﹣1,6).

【解析】

试题分析:(1)根据抛物线的对称性得到点B的坐标为(﹣3,0),故设抛物线为两点式方程y=a(x﹣1)(x+3),把点C的坐标代入即可求得a的值;利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式,即可得到顶点D的坐标;

(2)过D作DTy轴于T,则可求得DCT=45°,BCO=45°,则可判断BCD的形状;

(3)可设出P(﹣1,t),则可分别表示出AP、CP、AC的长度,分AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况分别可得到关于t的方程,可求得P点坐标.

试题解析:(1)点A(1,0)关于x=﹣1的对称点B(﹣3,0),

设过A(1,0)、B(﹣3,0)的抛物线为y=a(x﹣1)(x+3),

该抛物线又过C(0,3),则有:3=﹣3a,解得a=﹣1

即y==﹣2x+3,顶点D为(﹣1,4);

(2)DCB为直角三角形,理由如下:

过D点,作DTy轴于T,如图1,

则T(0,4).

DT=TC=1,

∴△DTC为等腰直角三角形,

∴∠DCT=45°,

同理可证BCO=45°,

∴∠DCB=90°,

∴△DCB为直角三角形;

(3)设P(﹣1,t),

A(1,0),C(0,3),

======10,

∵△APC为等腰三角形,

有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况,

当AP=CP时,则有=,即=,解得t=1,此时P(﹣1,1);

当AP=AC时,则有=,即=10,解得t=,此时P(﹣1,)或(﹣1,);

当CP=AC时,则有=,即=10,解得t=0或t=6,此时P(﹣1,0)或P(﹣1,6);

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(﹣1,1)或(﹣1,)或(﹣1,)或(﹣1,0)或(﹣1,6).

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