Question

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，D是⊙O上一点，CD是延长线与BA的延长线交于点E，且CD=CB．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）已知ED=a，EA=b，BC=c，请你选用适当的数据，求出⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据SSS证△ODC≌△OBC，推出∠ODC=∠OBC=90°，根据切线的判定定理推出即可；
（2）由切割线定理得出ED²=EA×EB，求出EB长，即可求出⊙O的半径．

解答：（1）证明：连接OD，
在△ODC和△OBC中

CD=CB OC=OC OD=OB

，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC=90°
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：选ED=a，EA=b，
∵CE切⊙O于D，EAB是⊙O的割线，
∴ED²=EA×EB，
∴a²=EBb，
∴EB=

a2

b

，
∴OB=

EB-EA

2

=

a2 b -b

2

=

a2-b2

2b

．
答：⊙O的半径是

a2-b2

2b

．

点评：本题考查了切线的判定，切割线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，解（1）小题关键是求出∠ODC=90°，方法是连接圆心O和点D，证垂直；解（2）小题的关键是运用切割线定理求出EB长，题目比较典型，难度适中．