题目内容

开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC、BC．
（1）若△ABC是直角三角形（图1），求二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，将抛物线沿y轴的负半轴向下平移k（k＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，求k的值；
（3）当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线C?O?B运动到点B，点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由．（参考数据： $数学公式$ ， $数学公式$ ）

解：抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴的交点为A（-1，0）、B（4，0）．
（1）若△ABC是直角三角形，只有∠ACB=90°．
由题易得△ACO∽△COB，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CO=2
∵抛物线开口向下，
∴C（0，2）
把C（0，2）代入得：
（0+1）（0-4）a=2， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）由 $\text{[math]}$ 可得：
抛物线的顶点为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点C（0，2），
当点C向下平移到原点时，
平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，
∴k=2
当顶点向下平移到x轴时，
平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，
∴ $\text{[math]}$ ；

（3）当点C为（0，4）时，抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-4），
抛物线的顶点为D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
连接DC、DB
∵D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（4，0），C（0，4），
∴CD= $\text{[math]}$ ，
DB= $\text{[math]}$ ；
∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8，
∴DB+DC＞CO+OB
由函数图象可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长
所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度
所以点P先到达点B．
分析：（1）根据已知的抛物线解析式，可求得A、B的坐标，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理的得到OC²=OA•OB（或由相似三角形证得），即可得到OC的长，从而确定C点的坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可确定a的值，从而求出该抛物线的解析式；
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，可求出其顶点坐标，由于函数图象的平移方法已经确定，即沿y轴负半轴向下平移，若抛物线与坐标轴只有两个交点，则有两种情况：
①C、O重合，此时抛物线向下平移了OC长个单位，
②抛物线的顶点落在x轴上，此时抛物线向下平移的单位长度与（1）的抛物线的顶点纵坐标相同，
综合上述两种情况，即可求得k的值；
（3）当C（0，4）时，可根据其坐标确定此时抛物线的解析式，进而求得其顶点D的坐标；P点的移动距离易求得（即OC+OB），而Q点的轨迹是一条曲线，无法直接求得，因此需要化曲为直，间接的和P点的移动距离进行比较；连接CD、BD，根据B、C、D三点坐标，即可求得CD、BD的长，从而确定BD+CD同OC+OB的大小关系，显然Q点移动距离要大于CD+BD，这样就判断出P、Q两点的路程谁大谁小，由于两点的速度相同，那么路程短的就先到达B点．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、二次函数图象的平移、坐标系两点间的距离公式等重要知识；（3）题中，由于Q点的移动轨迹是条曲线，在求其移动距离时，能够通过辅助线来化曲为直，间接的得出P、Q的路程大小是解决问题的关键．