Question

李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C₁处；

（2）如图2，圆锥的母线长为4cm，底面半径r=cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A；

（3）如图3，是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高10cm，底面圆周长为32cm，A距下底面3cm..

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）20cm

【解析】

试题分析：（1）由题意可展开正方体，得到矩形A₁ACC₁，蚂蚁爬矩形A₁ACC₁的对角线，根据勾股定理即可求得结果；

（2）首先根据圆锥的底面周长等于展开图的弧长，可求出圆锥侧面展开图中圆心角，进而得出AA₁的长；

（3）作出点A关于CD的对称点A'，可构造直角三角形结合相似三角形的知识，求得结果．

（1）如图所示：

最短路程的长；

（2）如图所示：

设圆心角为n，由题意得

解得

则∠AOC=60°，sin60°，解得

所以最短路程的长；

（3）如图所示：

则

所以最短路程的长

考点：平面展开图中最短路径问题

点评：本题是中考热点题，找出展开图的与原图形对应情况是解决问题的关键．