Question

（2012•丽水）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
（2）过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠OBD=∠DBH，
即BD平分∠ABH．

（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=

62-42

=2

5

．

点评：本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．