Question

等腰梯形的对角线所夹锐角为60°，如图所示，若梯形上下底之和为2

3

，则该梯形的高为

 

．

Answer 1

分析：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DQ⊥BC于Q，证四边形ADEC是平行四边形，可推出AD=CE，DE=AC，根据等腰梯形性质可以得到AC=BD=DE，再证△DBE是等边三角形，可以求出QE，再根据直角三角形性质求出DE，根据勾股定理求出DQ即可．

解答：解：
过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DQ⊥BC于Q，
（1）当∠BWC=60°时，
当∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，∠BDE=∠BWC=60°，AD=CE，
∴BE=2

3

∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD=DE，
∴三角形DBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵DQ⊥BC，
∴BQ=QE=

1

2

×2

3

=

3

，
∵∠QDE=90°-60°=30，
∴DE=2EQ=2

3

，
在△DQE中，由勾股定理得：DQ=

DE2-QE2

=3，
（2）当∠DWC=60°时，
∠BWC=180°-60°=120°，
又AC∥DE，
∴∠BDE=∠BWC=120°，
∴△BDE是等腰三角形，且底边BE=2

3

，
因而∠CED=（180°-120°）×

1

2

=30°，
作DQ⊥BE，则QE=

3

，DQ=

3

×tan30°=1，
故答案为：3或1．

点评：本题主要考查对等腰梯形性质，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的理解和掌握，能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形是解此题的关键．