题目内容

【题目】已知ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点点D不与B、C重合,以AD为边作菱形ADEFA、D、E、F按逆时针排列,使DAF=60°,连接CF

1如图1,当点D在边BC上时,求证:BD=CF;AC=CF+CD;

2如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;

3如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系

【答案】1证明见解析;2AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD3补图见解析,AC=CD﹣CF

【解析

试题分析:1根据已知得出AF=AD,AB=BC=AC,BAC=DAF=60°,求出BAD=CAF,证BAD≌△CAF,推出CF=BD即可;

2求出BAD=CAF,根据SAS证BAD≌△CAF,推出BD=CF即可;

3画出图形后,根据SAS证BAD≌△CAF,推出CF=BD即可

试题解析:1证明:菱形AFED,

AF=AD,

∵△ABC是等边三角形,

AB=AC=BC,BAC=60°=DAF,

∴∠BAC﹣DAC=DAF﹣DAC,

BAD=CAF,

BAD和CAF中

∴△BAD≌△CAF,

CF=BD,

CF+CD=BD+CD=BC=AC,

BD=CF,AC=CF+CD

2解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD,

理由是:由1知:AB=AC=BC,AD=AF,BAC=DAF=60°,

∴∠BAC+DAC=DAF+DAC,

BAD=CAF,

BAD和CAF中

∴△BAD≌△CAF,

BD=CF,

CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,

即AC=CF﹣CD

3AC=CD﹣CF理由是:

∵∠BAC=DAF=60°,

∴∠DAB=CAF,

BAD和CAF中

∴△BAD≌△CAF,

CF=BD,

CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC,

即AC=CD﹣CF

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