Question

如图，点M在△ABC的BC边上（不与顶点B、C重合），分别作MD⊥AB、ME⊥AC，垂足D、E分别在两边AB、AC上，△ABM与△ACM的面积相等，且△BDM与△CEM的面积相等．若BD=2、CE=1，试求点A到BC边的距离．

Answer 1

分析：分别设DM=x，ME=y，AD=z，AE=w，根据勾股定理求x、y的关系，并根据方程组求解x、y，同理即可求得z、w；根据△BDM与△CEM的面积相等的等量关系求解，根据面积法计算A到BC边的距离．

解答：解：由S_△ABM=S_△ACM知：BM=MC．记DM=x，ME=y，AD=z，AE=w．
由BM=MC及勾股定理得：2²+x²=BM²=MC²=1²+y²，
所以y²-x²=3．①
由S_△BDM=S_△CEM得：

1

2

•2•x=

1

2

•y•1，
所以y=2x②
把②代入①得：4x²-x²=3，x²=1，
故x=1，y=2，
又由勾股定理得：x²+z²=AM²=y²+w²，1+z²=2²+w²，
即z²-w²=3③
由S_△ABM=S_△ACM得：

1

2

•x•(2+z)=

1

2

•y•(1+w)，2+z=2+2w，
即z=2w④
把④代入③得：3w²=3，w²=1，故w=1，z=2，
从而S△ABC=

1

2

•1•4+

1

2

•2•2=4，BC=2BM=2•

22+12

=2

5

，
故点A到BC边的距离=

2•S△ABC

BC

=

2×4

2 5

=

4

5

=

4

5

5

．

点评：本题考查了勾股定理的正确运用，考查了在直角三角形中三角形面积计算，根据面积法求A到BC的距离是解本题的关键．