题目内容
（2013•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），与y轴的交点坐标为（0，-5）．点M是线段AB上的任意一点，过点M（a，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C，D不重合），点P是线段MC上一点，连结CD，BD，PD．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；
（3）若点P满足MP=
MC，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；
（3）若点P满足MP=
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分析：（1）直接将C点（0，-5）代入y=x2-2mx+m2-9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
（2）过D点作DF⊥x轴于点F，根据直角三角形的性质可以得出∠PDC=∠BDF，从而可以求出△PCD∽△BFD，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x0，y0），则D（4-x0，y0），P(x0，
y0)．根据PM=DC就有|2x0-4|=-
y0，由C点在抛物线上有|2x0-4|=-
(
-4x0-5)，分两种情况求出x0的值就可以得出结论．
（2）过D点作DF⊥x轴于点F，根据直角三角形的性质可以得出∠PDC=∠BDF，从而可以求出△PCD∽△BFD，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x0，y0），则D（4-x0，y0），P(x0，
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| 4 |
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| 4 |
| 1 |
| 4 |
| x | 2 0 |
解答：解：（1）∵抛物线y=x2-2mx+m2-9与y轴交点坐标为（0，-5），
∴-5=m2-9．
解得：m=±2．
当m=-2，y=0时，x2+4x-5=0
解得：x1=-5，x2=1，
∵抛物线y=x2-2mx+m2-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=-2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
（2）过D点作DF⊥x轴于点F，
∴∠DFB=90°
∵MC⊥x轴，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMB=∠DFB．
∴CM∥DF．
∵C、D关于抛物线的对称轴对称，
∴CD∥x轴，
∴∠MCD=∠CDF=∠CDP+∠PDF=90°
∵PD⊥BD，
∴∠PDB=∠PDF+∠FDB=90°
∴∠PDC=∠BDF．
∵∠PCD=∠BFD=90°，
∴△PCD∽△BFD．
∴
=
．
当x=1时，y=-8，
∴C（1，-8），D（3，-8），F（3，0），B（5，0），
设P（1，y），
∴
=
．
解得：y=-
．
∴当P的坐标为(1，-
)时，PD⊥BD；
（3）假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC．
设C（x0，y0），则D（4-x0，y0），P(x0，
y0)．
∴|2x0-4|=-
y0．
∵点C在抛物线y=x2-4x-5上；
∴y0═x02-4x0-5
∴|2x0-4|=-
(
-4x0-5)．
当2x0-4=-
(
-4x0-5)时，
解得：x01=3，x02=-7（舍去），
当4-2x0=-
(
-4x0-5)时，
解得：x03=1，x04=11（舍去），
∴x0=1或x0=3．
∴P（1，-2）或P（3，-2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）或E（-3，0）．
∴-5=m2-9．
解得：m=±2．
当m=-2，y=0时，x2+4x-5=0
解得：x1=-5，x2=1，
∵抛物线y=x2-2mx+m2-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=-2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
（2）过D点作DF⊥x轴于点F，
∴∠DFB=90°
∵MC⊥x轴，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMB=∠DFB．
∴CM∥DF．
∵C、D关于抛物线的对称轴对称，
∴CD∥x轴，
∴∠MCD=∠CDF=∠CDP+∠PDF=90°
∵PD⊥BD，
∴∠PDB=∠PDF+∠FDB=90°
∴∠PDC=∠BDF．
∵∠PCD=∠BFD=90°，
∴△PCD∽△BFD．
∴
| CD |
| FD |
| PC |
| BF |
当x=1时，y=-8，
∴C（1，-8），D（3，-8），F（3，0），B（5，0），
设P（1，y），
∴
| 2 |
| 8 |
| y+8 |
| 2 |
解得：y=-
| 15 |
| 2 |
∴当P的坐标为(1，-
| 15 |
| 2 |
（3）假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
|
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC．
设C（x0，y0），则D（4-x0，y0），P(x0，
| 1 |
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∴|2x0-4|=-
| 1 |
| 4 |
∵点C在抛物线y=x2-4x-5上；
∴y0═x02-4x0-5
∴|2x0-4|=-
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| x | 2 0 |
当2x0-4=-
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| x | 2 0 |
解得：x01=3，x02=-7（舍去），
当4-2x0=-
| 1 |
| 4 |
| x | 2 0 |
解得：x03=1，x04=11（舍去），
∴x0=1或x0=3．
∴P（1，-2）或P（3，-2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）或E（-3，0）．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．
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