题目内容
【题目】已知抛物线的顶点为(1,-4),且经过点B(3,0).
(Ⅰ)求该抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;
(Ⅱ)点P(m,t)为抛物线上的一个动点,点P关于原点的对称点为P′.
①当点P′落在该抛物线上时,求m的值;
②当点P′落在第二象限内,P′A2取得最大值时,求m的值.
【答案】(Ⅰ)y=x2-2x-3,点A的坐标为(-1,0);(Ⅱ)①m1=,m2=-. ② m=1.
【解析】试题分析: 由顶点坐标可以设抛物线的解析式为: 把点的坐标代入即可求出抛物线的解析式,进而求得抛物线与轴的交点坐标.
(2)①由对称可表示出点的坐标,再由和都在抛物线上,可得到关于的方程,可求得的值;
②由点在第二象限,可求得的取值范围,利用两点间距离公式可用表示出,再由点在抛物线上,可用消去,整理可得到关于的二次函数,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时的值,则可求得的值.
试题解析: 设抛物线的解析式为 代入点,
∴抛物线的解析式为:
∴点的坐标为
(Ⅱ)①由P(m,t)在抛物线上可得t=m22m3,
∵点P′与P关于原点对称,
∴P′(m,t),
∵点P′落在抛物线上,
即
解得或
②②由题意可知P′(m,t)在第二象限,
∴m<0,t>0,即m>0,t<0,
∵抛物线的顶点坐标为(1,4),
∴4t<0,
∵P在抛物线上,
∵A(1,0),P′(m,t),
当时, 取得最大值.
把代入,得
解得
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