Question

如图，⊙O和⊙O′的公共弦为AB，若AB分别为⊙O和⊙O′的内接正三角形和内接正六边形的一边，AB=2，则两圆公共部分的面积为

 

．

Answer 1

分析：连OO′交AB于D，交⊙O于C，根据相交两圆的性质得到OO′垂直平分AB，根据AB为⊙O′内接正六边形的一边，得到△O′AB为等边三角形，即有O′A=AB=2，∠AO′B=60°，根据扇形和三角形的面积公式利用AB与⊙O′所形成的弓形的面积=S_扇形O′AB-S_△O′AB进行计算；再由AB分别为⊙O的内接正三角形，利用等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，OD=

3

3

AD=

3

3

，OA=2OD=

2 3

3

，然后利用AB与⊙O所形成的弓形的面积=S_扇形OAB-S_△OAB，最后把两个结果相加即可得到两圆公共部分的面积．

解答：解：如图，连OO′交AB于D，交⊙O于C，则OO′垂直平分AB．
∵AB为⊙O′内接正六边形的一边，
∴△O′AB为等边三角形，
∴O′A=AB=2，∠AO′B=60°，
∴AB与⊙O′所形成的弓形的面积=S_扇形O′AB-S_△O′AB=

60•π•22

360

-

3

4

×2²=

2

3

π-

3

；
又∵AB分别为⊙O的内接正三角形，
∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，
∴OD=

3

3

AD=

3

3

，
∴OA=2OD=

2 3

3

，
∴AB与⊙O所形成的弓形的面积=S_扇形OAB-S_△OAB=

120•π( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×2×

3

3

=

4

9

π-

3

3

，
∴两圆公共部分的面积=

2

3

π-

3

+

4

9

π-

3

3

=

10

9

π-

4 3

3

．
故答案为

10

9

π-

4 3

3

．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

n•π•R2

360

；也考查了相交两圆的性质、等边三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．