Question

已知：如图，抛物线y=-

3

3

x2+mx+

3

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A点坐标为（-1，0）
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，设P为弧CBD上的动点P（P不与C、D重合），连接AP交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH•AP=k？如果存在，请求出常数k；如果不存在，请说明理由；
（3）连接DM并延长交BC于N，交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，试探究BC与FG的位置关系，并求直线FG的解析式．

Answer 1

分析：（1）将A点坐标代入解析式，求出m的值，得出抛物线的具体解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即为B点坐标；
（2）连接CP、AP，利用垂径定理、三角形相似（△ACH∽△APC）、勾股定理解答即可；
（3）利用圆的对称性、含30°角的直角三角形的特征、求得点F、G的坐标，就可以解决问题．

解答：解：（1）将A（-1，0）代入解析式y=-

3

3

x2+mx+

3

，
解得m=

2 3

3

；
令y=0，即-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
因此B点坐标为（3，0）；

（2）如图，假设存在常数k，满足AH•AP=k
连接CP，由垂径定理可知，
∴∠P=∠ACH（或利用∠P=∠ABC=∠ACO），
又∵∠CAH=∠PAC，
∴△ACH∽△APC，

AC

AH

=

AP

AC

，
∴即AC²=AH•AP，
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²=1²+（

3

）²=4，
∴AH•AP=k=4；
（3）由A（-1，0），B（3，0）C（0，

3

）
根据圆的对称性，易知：⊙M半径为2，
M（ 1，0）D（0，-

3

），
在Rt△DOM中，∠DOM=90°，OM=1，OD=

3

，
∴∠MDO=30°，
易得∠MFG=30°，在Rt△DGE中，∠GDE=30°，DE=4，
∴DG=

8

3

3

，OG=

5

3

3

，
∴G点的坐标为（0，

5

3

3

）
在Rt△GOF中∠OFG=30°，OG=

5

3

3

，
∴OF=5，
∴F点的坐标为（5，0）
∴直线FG的解析式为y=-

3

3

x+

5

3

3

．

点评：此题考查勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、圆的性质以及待定系数法求函数解析式等知识，是一道综合性很强的题目．