题目内容
取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°得到⊿ABC/，如图②所示。试问：
1.当α为多少度时，能使得图②中AB∥CD？
2.当旋转至图③位置，此时α又为多少度？图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比。
3.连结BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC/+∠CAC/+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。
【答案】
1.由题意∠CAC′=α，
要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°时，能使得AB∥DC．
2.易得α=45°时，可得图③，
此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，
则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．
下求△BFC与△ADC的相似比：
在图③中，设AB=a，则易得AC= 
a．
则BC=（
-1）a， BC：AC=（ -1）a： a=1：（2+
）
或（2- ）：2．（8分）
注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（ 
- +1）： 或（ 
+ -2）：2
3.∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°，
当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
【解析】一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解．
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22、取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．
，如图所示．
值的大小变化情况，并给出你的证明．