题目内容
如图,P,Q,R分别是△ABC三边上的点,四边形PQCR为平行四边形,BR,AQ交于M,PQ,BR交于N,若S△AMP=25,S△PBN=16,则S△CQR= .
考点:面积及等积变换
专题:计算题
分析:设BQ=a,CQ=b,S△AMP=S1,S△PBN=S2,S△ABC=S,根据平行四边形的性质得PM∥BQ,PQ∥AC,根据相似比和平行线分线段成比例定理得到
=
=
,
=
=
,易得PM=
,再根据三角形的面积公式得到
=
=
,同理可得
=
,然后计算
=
,根据平行四边形的性质得PR=CQ,CR=PQ,于是得到
=
,然后利用△BPQ∽△BAC得到
=
=
,所以
=
•
=
,于是易得S3=S1+S2=41.
PA |
AB |
PM |
BQ |
PM |
a |
PA |
AB |
CQ |
BC |
b |
a+b |
ab |
a+b |
S1 |
S |
| ||
|
ab2 |
(a+b)3 |
S2 |
S |
a2b |
(a+b)3 |
S3 |
S |
| ||
|
S3 |
S |
PQ•b |
(a+b)•CA |
PQ |
CA |
BQ |
BC |
a |
a+b |
S3 |
S |
b |
a+b |
a |
a+b |
ab |
(a+b)2 |
解答:解:设BQ=a,CQ=b,S△AMP=S1,S△PBN=S2,S△ABC=S,
∵四边形PQCR为平行四边形,
∴PM∥BQ,PQ∥AC,
∴
=
=
,
=
=
,
∴
=
,即PM=
,
∴
=
,
∵PM∥BQ,
∴∠APM=∠ABC,
∴
=
•
•
=
,
同理可得
=
,
∵
=
,
∵四边形PQCR为平行四边形,
∴PR=CQ,CR=PQ,
∴
=
,
∵PQ∥AC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴
=
=
,
∴
=
•
=
,
∴
+
=
=
+
=
=
=
,
∴S3=S1+S2=25+16=41.
故答案为41.
∵四边形PQCR为平行四边形,
∴PM∥BQ,PQ∥AC,
∴
PA |
AB |
PM |
BQ |
PM |
a |
PA |
AB |
CQ |
BC |
b |
a+b |
∴
PM |
a |
b |
a+b |
ab |
a+b |
∴
S1 |
S |
| ||
|
∵PM∥BQ,
∴∠APM=∠ABC,
∴
S1 |
S |
b |
a+b |
ab |
a+b |
1 |
a+b |
ab2 |
(a+b)3 |
同理可得
S2 |
S |
a2b |
(a+b)3 |
∵
S3 |
S |
| ||
|
∵四边形PQCR为平行四边形,
∴PR=CQ,CR=PQ,
∴
S3 |
S |
PQ•b |
(a+b)•CA |
∵PQ∥AC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴
PQ |
CA |
BQ |
BC |
a |
a+b |
∴
S3 |
S |
b |
a+b |
a |
a+b |
ab |
(a+b)2 |
∴
S1 |
S |
S2 |
S |
S1 |
S |
ab2 |
(a+b)3 |
a2b |
(a+b)3 |
ab(a+b) |
(a+b)3 |
ab |
(a+b)2 |
S3 |
S |
∴S3=S1+S2=25+16=41.
故答案为41.
点评:本题考查了面积及等积变换:掌握三角形面积公式和平行线四边形的性质,熟练运用平行线分线段成比例定理和相似比进行线段的计算.
练习册系列答案
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如图,已知△ABC与△BAD中,AC⊥AB,BD⊥AB,再选择下列条件中的一个条件,就可以用“HL”来说明△ABC≌△BAD,你选的条件是( )
A、∠ABC=∠BAD |
B、∠ACB=∠BDA |
C、AC=BD |
D、BC=AD |