Question

（2011•南宁）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线．
（2）当AC=1，BE=2，求tan∠OAC的值．

Answer 1

分析：（1）连接OE，由已知的平行，根据两直线平行，同位角相等，内错角也相等得到两对角的相等，然后由半径OD=OE，根据等角对等边得到∠ODE=∠OED，等量代换得∠COA=∠EOA，再由半径OC=OE，公共边的相等，根据“SAS”证明△OAC≌△OAE，最后根据全等三角形的对应角相等得到OE⊥AB，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证；
（2）由（1）证得的△OAC≌△OAE，根据全等三角形的对应边相等得到AE=AC=1，再由已知的BE的长相加求出AB的长，然后在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，再根据一对公共角的相等和一对直角的相等，得到△BOE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到

OE

AC

的值，等量代换可得

OC

AC

的值，即为tan∠OAC的值．

解答：（1）证明：如图，连接OE，
∵DE∥OA，
∴∠COA=∠ODE，∠EOA=∠OED，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠COA=∠EOA，
又∵OC=OE，OA=OA，
∴△OAC≌△OAE，
∴∠OEA=∠OCA=90°，
∴OE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知△OAC≌△OAE，
∴AE=AC=1，AB=1+2=3，在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

32-12

=2

2

，
∵∠B=∠B，∠BCA=∠BEO，
∴△BOE∽△BAC，
∴

OE

AC

=

BE

BC

=

2

2 2

=

2

2

，
∴在直角△AOC中，tan∠OAC=

OC

AC

=

OE

AC

=

2

2

．

点评：此题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，以及锐角三角函数的定义，是一道多知识的综合题，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．其中证明切线的方法一般有以下两种：①有点连接证明半径（或直径）与所证的直线垂直；②无点作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．