Question

如图，在同一平面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AFG=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）
（1）求证：△ABE∽△DCA．
（2）若BD=

1

2

，求CE．

Answer 1

分析：（1）由图形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根据∠B=∠C=45°，证明两个三角形相似；
（2）由勾股定理，得CA=BA=

2

，由（1）的相似三角形的性质，利用相似比即可求出CE．

解答：（1）证明：∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA（2分），
又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA（4分）；

（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

CA

=

BA

CD

，
由依题意可知CA=BA=

2

，
∴

BE

2

=

2

CD

，
∴

2-CE

2

=

2

2-BD

，
∴

2-CE

2

=

2

2- 1 2

，
解得CE=

2

3

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．关键是通过图形的旋转，将条件“相对集中”．