题目内容

【题目】如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.

(1)、求证:DEAG;

(2)、如图2,正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°α<360°),得到正方形OEFG

在旋转过程中,当OAG是直角时,求α的度数;

若正方形ABCD的边长为2,在旋转过程中,求AF长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、α=30°或150°、最大值为4+α=315°.

【解析】

试题分析:(1)、延长ED交AG于点H,根据正方形的性质得出AOG和DOE全等,从而得出AGO=DEO,

根据AGO+GAO=90°得出GAO+DEO=90°,即得出垂直;(2)、、根据OAG=90°OAG=90°两种情况分别进行计算;α=315°时, A、O、F在一条直线上时,AF的长最大,最大值为4+.

试题解析:(1)、延长ED交AG于点H, 点O是正方形ABCD两对角线的交点,OA=OD,OAOD

AOG和DOE中 ∴△AOG≌△DOE ∴∠AGO=DEO,

∵∠AGO+GAO=90°∴∠GAO+DEO=90°∴∠AHE=90°即DEAG

(2)、在旋转过程中,OAG成为直角有两种情况:

(I):α由0°增大到90°过程中,当OAG=90°时,

OA=OD=OG=OG在RtOAG中,sinAGO==∴∠AGO=30°

OAOD,OAAGODAG∴∠DOG=AGO=30°,即α=30°

(II):α由90°增大到180°过程中,当OAG=90°时,

同理可求BOG=30°∴α=180°﹣30°=150°

综上所述,当OAG=90°时,α=30°或150°

α=315°时, A、O、F在一条直线上时,AF的长最大,最大值为4+α=315°

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