Question

如图菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．同时指出△BCF是由△BDE经过如何变换得到？

Answer 1

（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，
∴AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE，
又∵DE=AD-AE=2-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF．
分析：（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答．
点评：本题考查了菱形的四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转变换，根据菱形的对角线BD与菱形的边相等判定出等边三角形是解题的关键．