题目内容
(2010•达州)如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.下列条件中,能证明△ABC是直角三角形的有
①∠A+∠B=90°
②AB2=AC2+BC2
③
=
④CD2=AD•BD.
①②④
①②④
(多选、错选不得分).①∠A+∠B=90°
②AB2=AC2+BC2
③
AC |
AB |
CD |
BD |
④CD2=AD•BD.
分析:根据三角形内角和是180°、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意即可.
解答:解:①∵三角形内角和是180°,由①知∠A+∠B=90°,
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°,
∴△ABC是直角三角形.故选项①正确.
②AB,AC,BC分别为△ABC三个边,由勾股定理的逆定理可知,②正确.
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边,且夹角不相等,无法证明△ACB与△CDB相似,也就不能得到∠ACB是直角,故③错误;
④若△ABC是直角三角形,已知CD⊥AB,
又∵CD2=AD•BD,(即
=
)
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确;
故正确的结论为①②④.
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°,
∴△ABC是直角三角形.故选项①正确.
②AB,AC,BC分别为△ABC三个边,由勾股定理的逆定理可知,②正确.
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边,且夹角不相等,无法证明△ACB与△CDB相似,也就不能得到∠ACB是直角,故③错误;
④若△ABC是直角三角形,已知CD⊥AB,
又∵CD2=AD•BD,(即
CD |
AD |
BD |
CD |
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确;
故正确的结论为①②④.
点评:本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用,只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可.
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