题目内容
已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在 |
| AB |
点C作CD⊥AB于D，E是CD的中点，连接BE并延长交AP于点F，连接CF．（1）当点C是
|
| AB |
（2）当点C不是
|
| AB |
分析：（1）通过证明△FCE≌△BDE证得FC⊥OC即可判定切线；
（2）连接AC，OC，BC并延长交AP于点G，证得∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°即可．
（2）连接AC，OC，BC并延长交AP于点G，证得∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°即可．
解答：
（1）证明：∵C是
的中点，且CD⊥AB．
∴D与圆心O重合，即OC⊥AB．
又E是CD的中点，∴OE=EC
又∵AP是⊙O的切线，∴AP⊥AB，∴OC∥AP．
由于O是AB的中点，
∴E是BF的中点，即BE=EF．
在△FCE和△BDE中，OE=CE，BE=FE，∠BED=∠FEC．
∴△FCE≌△BDE，
∴∠FCE=∠BDE=90°，即FC⊥OC，
∴CF是半圆O的切线．
（2）猜想：直线CF是半圆O的切线．
证明如下：连接AC，OC，BC并延长交AP于点G．
则AC⊥GB，∠OAC=∠OCA．
∵CD⊥AB，∴CD∥AP，
∴
=
=
．
又∵CE=ED，
∴AF=FG．
又∵∠ACG=90°，
∴FC=FA，
∴∠FCA=∠FAC．
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°，
即OC⊥CF．
∴CF是半圆O的切线．
（1）证明：∵C是 |
| AB |
∴D与圆心O重合，即OC⊥AB．
又E是CD的中点，∴OE=EC
又∵AP是⊙O的切线，∴AP⊥AB，∴OC∥AP．
由于O是AB的中点，
∴E是BF的中点，即BE=EF．
在△FCE和△BDE中，OE=CE，BE=FE，∠BED=∠FEC．
∴△FCE≌△BDE，
∴∠FCE=∠BDE=90°，即FC⊥OC，
∴CF是半圆O的切线．
（2）猜想：直线CF是半圆O的切线．
证明如下：连接AC，OC，BC并延长交AP于点G．
则AC⊥GB，∠OAC=∠OCA．
∵CD⊥AB，∴CD∥AP，
∴
| ED |
| FA |
| BE |
| BF |
| CE |
| FG |
又∵CE=ED，
∴AF=FG．
又∵∠ACG=90°，
∴FC=FA，
∴∠FCA=∠FAC．
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°，
即OC⊥CF．
∴CF是半圆O的切线．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
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