Question

（2013•宝安区一模）如图，抛物线y=ax2+

3

2

x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点我，已知B点坐标（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心P位置，并求圆心P坐标；
（3）若D是抛物线上一动点，是否存在点D，使以P、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，请直接写出满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点B的坐标代入可求出a的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，从而确定△ABC的外接圆圆心在斜边的中点；
（3）分两种情况讨论，①BC为梯形的底边，②BC为梯形的对角线，分别求出点D的坐标即可．

解答：解：（1）将点B（4，0）的坐标代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=-

1

2

，
故抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴点C的坐标为（0，2），点A的坐标为（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的外接圆的圆心P位置在斜边AB的中点处，
∴点P的坐标为（

3

2

，0）．

（3）存在点D的坐标．
①若BC为梯形的底边，过点P作BC的平行线，交抛物线于点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、点C的坐标代入可得：

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
故直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2，
故可设直线PD的解析式为y=-

1

2

x+c，
将点P的坐标（

3

2

，0）代入可得：-

1

2

×

3

2

+c=0，
解得：c=

3

4

，
故直线PD的解析式为y=-

1

2

x+

3

4

，
联立抛物线与直线PD的解析式：

y=- 1 2 x+ 3 4 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，
解得：

x= 4+ 26 2 y= -1- 26 4

或

x= 4- 26 2 y= -1+ 26 4

，
即点D的坐标为（

4+ 26

2

，

-1- 26

4

）或（

4- 26

2

，

-1+ 26

4

）．
②若BC为梯形的对角线，过点C作CD∥BP，交抛物线于点D，
此时点D的纵坐标为2，将y=2代入抛物线解析式可得点D的坐标为（3，2）；
③当CP为底边，过B作CP的平行线，方法同第二种情况，
∵P（

3

2

，0），C（0，2），
∴直线PC的解析式为y=-

4

3

x+2，
∵BD∥PC，B（4，0），
∴直线BD的解析式为y=-

4

3

x+

16

3

，
∴

y=- 4 3 x+ 16 3 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，解得

x=4 y=0

或

x= 3 2 y= 25 8

∴D（

3

2

，

25

8

）．
综上可得点D的坐标为：（

4+ 26

2

，

-1- 26

4

）或（

4- 26

2

，

-1+ 26

4

）或（3，2）或（

3

2

，

25

8

）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的外接圆圆心及直线与抛物线的交点，涉及的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，要求同学们熟练掌握各知识点，并能将所学知识点融会贯通．