题目内容
定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于
②四边形ABCD为（ ）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c-1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F1：y=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
分析：（1）已知F2的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值；
（2）在（1）的基础上求出S△ABD；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
（2）在（1）的基础上求出S△ABD；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
解答：解：（1）-2；D；
（2）∵F2：y=a（x-2）2+c-1，
而A（0，c）在F2上，可得a=
．
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S△ABD=2；
（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=
x2-
x+
，配方得y=
（x-1）2+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2
，
∴点C的坐标为（1+2
，2）．
∵F2过点A，
∴F2解析式为y=
（x-1-
）2+1，
∴B（1+
，1），
∴D（1+
，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=
，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=
AD=
∴最小值为
．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为
．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为
．
（2）∵F2：y=a（x-2）2+c-1，
而A（0，c）在F2上，可得a=
| 1 |
| 4 |
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S△ABD=2；
（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2
| 3 |
∴点C的坐标为（1+2
| 3 |
∵F2过点A，
∴F2解析式为y=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
∴B（1+
| 3 |
∴D（1+
| 3 |
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=
| 3 |
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=
| ||
| 2 |
| 3 |
∴最小值为
| 3 |
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为
| 3 |
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为
| 3 |
点评：本题综合考查的是考生的作图能力以及二次函数的灵活运用，难度较大．
练习册系列答案
一线名师权威作业本系列答案
相关题目
经过变换满足AC=2
，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值．
x2-
x+
，经过变换后，AC=2
，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
x2-
x+
，经过变换后，AC=2
，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．