Question

若不论自变量x取何实数时，二次函数y=2x²-2kx+m的函数值总是正数，且关于x的实一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的数根．当k为符合条件的最大整数时，m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：首先根据一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根，求出k＜4，即k=3，再根据已知不论自变量x取何实数时，二次函数y=2x²-2kx+m的函数值总是正数，知抛物线的开口向上，有最小值，只要求出顶点的纵坐标大于0即可求出所填答案．

解答：解：二次函数y=2x²-2kx+m的函数值总是正数，
∵a=2＞0，开口向上，函数有最小值，
∴

4ac-b2

4a

=

4×2m-(-2k)2

4×2

=

2m-k2

2

＞0，
∵一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac=（-4）²-4×1×k=16-4k＞0，
解得：k＜4，
即：k=3，
∴

2m-9

2

＞0，
即：m＞

9

2

，
故答案为：m＞

9

2

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的判别式，一元一次不等式的解法等知识点，解此题的关键是根据已知确定k的值，进一步确定m的范围．