Question

一年共有12个月，闰年的二月是29天，又有4个小月，7个大月，所以闰年共有29×1+30×4×31×7=366（天）．反过来思考：如果非负整数a，b，c满足等式：29a+30b+31c=366（*），那么a+b+c=______，这样的数组（a，b，c）共有______组，它们分别是______．

Answer 1

∵一年是12个月，
∴a+b+c=12
∴由题意得：

29a+30b+31c=366① a+b+c=12              ② 0≤a≤12，0≤b≤12，0≤c≤12．且a，b，c为整数

由②×29，得
29a+29b+29c=348          ③
由①-③，得
b+2c=18
∴b=18-2c
∴0≤18-2c≤12
∴3≤c≤9且为整数．
当c=3时，b=12，a=-3，不符合题意，应舍去．
当c=4时，b=10，a=-2，不符合题意，应舍去．
当c=5时，b=8，a=-1，不符合题意，应舍去．
当c=6时，b=6，a=0．
当c=7时，b=4，a=1．
当c=8时，b=2，a=2．
当c=9时，b=0，a=3．
∴原方程组的解为：

a=0 b=6 c=6

，

a=1 b=4 c=7

，

a=2 b=2 c=8

，

a=3 b=0 c=9

共4组．
故答案为：12，4，（0，6，6），（1，4，7），（2，2，8），（3，0，9）．