Question

如图，半径为2的⊙O，圆心在直角坐标系的原点处，直线l的函数关系式为：y=

3

x且与⊙O相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）如果把直线l沿x轴的正方向平移，在平移的过程中，直线l能与⊙O相切吗？若能，求出相切时直线l的函数关系式；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据勾股定理即可求出点A的坐标；
（2）设平移后的直线l′与⊙O相切于点C，交x轴于点D，则OC⊥l′，先求出点D的坐标，然后设平移后的直线l′的函数关系式为y=

3

x+b，把（

4 3

3

，0）代入y=

3

x+b，即可求解．

解答：解：（1）过点A作AB⊥x轴，垂足为B，
则OB²+AB²=OA²，
设点A的坐标为（x，

3

x）
∵⊙O的半径为2，
∴x2+(

3

x)2=22，
解得x=1，
∴点A的坐标（1，

3

）；

（2）直线l在平移的过程中，能与⊙O相切．
设平移后的直线l′与⊙O相切于点C，交x轴于点D，则OC⊥l′，
∵cos∠AOB=

OB

OA

=

1

2

，
∴∠AOB=60°，
又∵l∥l′，
∴∠ODC=∠AOB=60°，
∵sin∠ODC=

OC

OD

，OD=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴点D的坐标为（

4 3

3

，0）．
设平移后的直线l′的函数关系式为y=

3

x+b，
把（

4 3

3

，0）代入y=

3

x+b，得b=-4．
∴直线l通过平移能与⊙O相切，相切时函数关系式为y=

3

x-4．

点评：本题考查了一次函数的综合题，难度较大，关键是掌握待定系数法求解函数的解析式．