Question

（2009•瓯海区一模）如图，抛物线y=ax²+bx+c交坐标轴于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标；
（2）若直线CM与x轴交于点D，E是C关于此抛物线对称轴的对称点，试判断四边形ADCE的形状并说明理由；
（3）若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点，连接BP交y轴正半轴于点N，是否存在点P使△AOC与△BON相似？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将A、B、C三点坐标代入解方程组可得a，b，c的值和抛物线解析式，用顶点坐标公式求顶点坐标；（2）已知点C（0，-3），M（1，-4），根据“两点法”可求直线CM函数解析式及D点坐标，∵E是C关于此抛物线对称轴的对称点，∴点E（2，-3），这样就已知A，D，C，E四点坐标，只要判断线段CE、AD平行且相等即可；
（3）设N（0，n），n＞0，△AOC与△BON都是直角三角形要求相似，存在两种对应关系：△AOC∽△BON，△AOC∽△NOB，根据相似比可得N点坐标，再求直线BN解析式与抛物线解析式联立可求P点坐标．
解答：解：
（1）把点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²+bx+c得：

解得：
∴抛物线函数解析式为y=x²-2x-3（3分）
顶点M的坐标为（1，-4）（4分）

（2）∵点C（0，-3），M（1，-4）
∴直线CM函数解析式为y=-x-3
∴直线CM与x轴交于点D（-3，0），（6分）
∵E是C关于此抛物线对称轴的对称点，
∴点E（2，-3）
∴CE=AD=2，
又∵CE∥AD
∴四边形ADCE是平行四边形．（8分）

（3）存在点P使△AOC与△BON相似，P₁（，），P₂（-4，21）．（12分）
点评：本题考查了抛物线解析式及顶点坐标的求法，平行四边形的判断，寻找三角形相似的条件等知识，充分体现形数结合的数学思想．