Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半径．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）直线MN与⊙O的位置关系是相切。理由如下：

连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA。∴OC∥AD。

∵AD⊥MN，∴OC⊥MN。

∵OC为半径，∴MN是⊙O切线。

（2）∵CD=6，，∴AC=10。

由勾股定理得：AD=8。

∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°。

∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。

∴，即。

∴AB=12.5。∴⊙O半径是×12.5=6.25。

【解析】

试题分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，从而得OC⊥MN，根据切线的判定推出即可。

（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可。